Geçtiğimiz dönemde Prof. Thomas Van Riet ve Prof. Alessio Lerose tarafından verilen bir analitik mekanik dersi aldım. Bu ders sırasında, belki de bir süredir her simplektik geometri çalıştığımda denediğim gibi, beni gıcık eden bir notasyonu düzeltmeye çalıştım. Eski yazdığım ders notlarına baktığımda az sonra tanıtacağım notasyonun bir benzerini 2024 yılında bile kullanmaya çalışmışım. Düzeltmeyi göstermek için önce çirkin notasyonun ne olduğunu anlatmam gerek.

Klasik bir parçacığın hareketini tarif etmek istediğimizi hayal edelim. Bu parçacığın koordinatlarının oluşturduğu uzaya konfigürasyon uzayı denir. Bu uzayı \(Q\) ile gösterelim. Çoğunlukla \(n\)-boyutlu bir sistem için \(Q\simeq \mathbb{R}^n\) diyebiliriz. Elbette \(\mathbb{R}^n\) yerine herhangi bir manifold seçebilirdik ama biz en basit durumu ele alalım. Gerçek hayatta noktasal bir parçacık için \(Q=\mathbb{R}^3\). Bu parçacığın nasıl hareket edeceğini yazmak için onu faz uzayındaki koordinatları ile tarif etmemiz gerekiyor. Faz uzayı, sadece parçacığın konumu değil aynı zamanda momentumunun bilgisini de taşır. Faz uzayı, konfigürasyon uzayının kotanjant bundle’ı (bu terimin türkçesine dair bir kaynak bulamadım ama “demet” olması gerekir diye düşünüyorum) olmacak. \(\Gamma:=T^*Q\) faz uzayıdır, \(2n\) boyutludur ve elemanları şu şekilde verilir.

\[q^a\in Q\rightarrow x^i=(q^a,p_a)\in\Gamma\]

Burada alfabenin başlangıcından yazılan indisler, \( a,b,c,…\in\{1,2,…n\} \) 1’den \(n\)’ye kadar ve alfabenin ortasından alınan indisler \(i,j,k,l,…\in\{1,2,…2n\}\) 1’den \(2n\)’ye kadar gidiyor. Burada eğer tek bir parçacığa bakarsak onun zaman içindeki koordinatlarını \( (q^a(t),p_a(t))\) olarak verebiliriz. \(q^a(t)\) parçacığın zaman içindeki konumu ve \(p_a(t)\) bu parçacığın momentumudur. Bu koordinatların zaman içerisinde nasıl değişeceğini ise Hamilton hareket denklemleri belirler. Eğer parçacığın Hamiltonyeni \(H=H(p,q)\) ise bu denklemler şu şekilde olur,

\[ \dot q^a=\dfrac{\partial H}{\partial p_a},\quad \dot p_a=-\dfrac{\partial H}{\partial q^a}\]

Şunu göstermek mümkün: Her kotanjant demeti için doğal bir şekilde oluşturulmuş özel bir 1-form yazabiliriz. \(\theta\in T^*\Gamma\) faz uzayında tanımlı bir 1-form ve aşağıdaki gibi veriliyor,

\[\begin{equation}\theta:=-\sum_{a=1}^n p_a\ted q^a\end{equation}\]

Bu formun adı Poincaré 1-formu ya da simplektik potansiyeldir. Özel olmasının sebebi bu formun dış türevinin faz uzayı üzerinde bir simplektik yapı oluşturmasıdır. Yani her manifold için, manifoldun kotanjant demeti bir simplektik uzaydır diyebiliriz.

\[\begin{equation}\label{simp}\omega:=\ted\theta = \sum_a \ted q^a\wedge \ted p_a\end{equation}\]

Bu tanım simplektik formun sağlaması gereken her koşulu sağlıyor.

• \(\ted\omega=0\)
• Dejenere değil. Yani iki tane vektör alanı için, \(X,Y\in T\Gamma\), \(\omega(X,Y)=0\Rightarrow X=0\) veya \(Y=0\)

Simplektik formu, ve de genel olarak simplektik uzayları klasik mekanikte kullanmamızın ardındaki fikir şudur: Newton yasalarının ortaya atılışından beri anlaşılıyor ki klasik bir sistemi tarif etmek için sistemin kendi boyutunun iki katı kadar parametreye ihtiyacımız var. Fakat bu parametrelerin bir yarısı ile (konumu gösteren koordinatlar) diğer yarısı (momentumu gösteren koordinatlar) arasında bir ayrım var, ikisi tam olarak aynı şekilde dönüşmüyorlar. Aşağıda biraz daha detaylı bahsedeceğim ama özetle hareket denklemlerinin formunu koruduğumuz (kanonik) dönüşümler altında konum koordinatları tanım gereği kovaryant bir şekilde dönüşürken momentum koordinatlarının kontravaryant bir şekilde dönüşmesi gerekiyor. Sistemi momentum ve konum koordinatlarının birbirine karıştığı daha karmaşık koordinat sistemlerinde de tarif edebiliriz ama kanonik bir koordinat dönüşümü yaptığımız sürece bu yeni karışık koordinatlarda bile hâlâ konum tipinde olan ve momentum tipinde olan koordinatları ayırabiliyoruz. İşte simplektik form bu yapının korunmasını sağlıyor. Simplektik form aynı zamanda Riemann geometrilerinde olduğu gibi, \(T\Gamma\) ve \(T^*\Gamma\) arasında bir fonksiyon oluşturmada da kullanılabilir. Simplektik formu kullanarak iki tane yeni fonksiyon tanımlayalım (metrik ve ters metriğe benzer şekilde)

\[\begin{align*}\mathcal{J}:T\Gamma_x &\to T^*\Gamma_x \\ X&\mapsto \iota_X\omega=\mathcal{J}_X \\ \mathcal{I}:T^*\Gamma_x&\to T\Gamma_x \\ \eta&\mapsto \mathcal{I}\eta,\qquad \mathcal{I}\mathcal{J}_X=X \end{align*} \]

Burada semboller biraz benziyor, \(\mathcal I\) eğik I harfi ve \(\mathcal J\) eğik J harfi. \(\mathcal{I}\)’nın tanımını benzer şekilde \(\iota_{\mathcal{I}\eta}\omega=\eta\) şeklinde verebiliriz. Burada \(X\in T\Gamma\) ve \(\eta\in T^*\Gamma\) sırasıyla faz uzayı üzerinde tanımlı bir vektör alanı ve bir kovektör alanıdır (yani 1-form).

Şimdi bizim için asıl can alıcı noktaya gelelim. Bu iki fonksiyonu bir koordinat sisteminde indis kullanarak açalım. Bunu yapmak için \(T\Gamma\) ve \(T^*\Gamma\) için taban oluşturalım. \(T^*\Gamma\) için \(\ted x^i=(\ted q^a,\ted p_a)\) tabanımız var, \(T\Gamma\) için de bunun dual tabanını seçelim \(\partial_i=(\partial_a,\partial^a)\) öyle ki \(\ted x^i(\partial_j)=\delta_{ij}\). Bu durumda herhangi bir vektörü ve kovektörü şöyle ifade edebiliriz,

\[X=X^i\partial_i,\qquad \eta=\eta_i\ted x^i\]

Burada tekrar eden indisler üzerinden toplama işlemi var. Artık bu tabanlarda \(\mathcal{J}\) ve \(\mathcal{I}\) fonksiyonlarının nasıl etki ettiklerini matrisler kullanarak yazabiliriz.

\[\mathcal{J}_X(Y)=\iota_X\omega(Y)=\omega(X,Y)=J_{ij}X^iY^j\Rightarrow (\mathcal{J}_X)_j=J_{ij}X^i\]

\[\mathcal{I}\eta=I^{ij}\eta_j \partial_i\Rightarrow (\mathcal{I}\eta)^i = I^{ij}\eta_j\]

Ters fonksiyon olma koşulunu da matris notasyonuyla şu şekilde yazabiliriz,

\[J_{ij}I^{jk}=\delta_i^k\]

Peki bu matrislerin bileşenlerini nasıl bulacağız? Unutmayalım ki \(J=(J_{ij})\) ve \(I=(I^{ij})\) matrisleri simplektik formdan türetildi. Dolayısıyla onu nasıl yazacağımızı bildiğimiz sürece bu matrisleri de bulabiliriz. Denk.\(\ref{simp}\)’de gördüğümüz simplektik formun bu hâli simplektik potansiyel kullanılarak, \(T^*\Gamma\) içinde yukarıda belirlediğimiz tabanda yazılmış. En genel durumda bile simplektik formu Darboux teoremi sayesinde her zaman bu hâlde yazabiliyoruz. Bunu kullanarak şunu söyleyebiliriz,

\[\omega=\dfrac{1}{2}J_{ij}\ted x^i\wedge \ted x^j=\ted q^a\wedge \ted p_a\Rightarrow \]

\[J=\begin{pmatrix}J_{ab} & J_{a}^{\,\,b}\\ J^{a}_{\,\,\,b} & J^{ab}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \mathbb{1}\\-\mathbb{1} & 0\end{pmatrix}\]

Ve ters matris \(I\),

\[I=J^{-1}=-J\quad I^{ab}=I_{ab}=0\quad I_{b}^{\,\,a}=-I^{a}_{\,\,\,b}=\delta_b^a\]

İşte tam bu noktada bu notasyonda indisler iyice karışmaya başlıyor. Bazıları yukarıda, bazıları aşağıda ve bir matrisin içerisinde hem yukarıda indis var hem aşağıda indis var.

Yukarı ve Aşağı İndisler

Bu şekilde indislerin birbirine girmesinin arkasında bir sebep var. Sormamız gereken soru şu: İlk başta faz uzayının koordinatlarını tanımlarken neden yukarıda ve aşağıda indisler kullandık? Koordinatları şu şekilde tanımladık,

\[(q^a,p_a)\in T^*\Gamma\]

Neden konum koordinatlarının \(q^a\) indisleri yukarıdayken momentum koordinatlarının \(p_a\) indisleri aşağıda? Tanım gereği \(p_a\), konfigürasyon uzayı \(Q\) içerisinde yaşayan bir 1-formun koordinatları ve burada kullanıldığı gibi yukarı ve aşağı indislerin kullanıldığı görelilik kuramından biliyoruz ki 1-formlar kontravaryant (yani konum dönüşümlerinin tersi şekilde) dönüşürler. Analitik mekanik bağlamında da aynı kural geçerlidir. Bunu görmek için şu soruyu soralım: Eğer konum koordinatlarına bir dönüşüm yaparsak, tüm dönüşümün kanonik olması için momentum bileşenleri nasıl değişmelidir? Bu sorunun yanıtını bulmak için konum koordinatlarına lineer bir dönüşüm uygulayıp yeni koordinatlar yazalım: \(q\to q’=Aq\). Bu dönüşümün kanonik olması için faz uzayının momentum koordinatları da dönüşmelidir. Simplektik formu aynı tutacak şekilde bir dönüşüm yapmak için sağlanması gereken koşul \(p\to p’=Bp\) olsun:

\[\omega=(\ted q)^\intercal\wedge\ted p\to \omega’= A^\intercal B(\ted q)^\intercal \wedge\ted p =\omega\]

\[\Rightarrow B=A^{-\intercal}\]

Olarak buluruz. Yani momentum koordinatları gerçekten de konum koordinatlarından farklı bir biçimde dönüşmek zorunda. İşte konum koordinatlarında yukarıda, momentum koordinatlarında aşağıda indis kullanmamızın sebebi budur. Bize bu bileşenlerin koordinat dönüşümleri altında nasıl değişeceği bilgisini verir. Benzer durum konfigürasyon uzayı üzerinde tanımlı vektörler, kovektörler vb. için de geçerlidir.

Peki ama o hâlde iki koordinatı bir araya toplayıp faz uzayı koordinatları için \(x^i\) olarak tek bir notasyon kullandığımızda bu ne anlama geliyor? Bu bize bu koordinatların nasıl dönüştüğü hakkında fikir veremez çünkü iki tipteki koordinatı da bir sembol altında topladık. Faz uzayı indislerini kullandığımız zaman bu sadece koordinatları göstermek için bir sembol olur. Ya da aynı şekilde faz uzayı üzerindeki vektörleri veya kovektörleri. Faz uzayında bir vektörü \(X\in T\Gamma_x\) şöyle gösterebiliriz mesela:

\[X=X^i \dfrac{\partial}{\partial x^i}= X^a \dfrac{\partial}{\partial q^a}+ X_a\dfrac{\partial}{\partial p_a}\]

Burada şunu görüyoruz: Bu notasyonda aşağı indis ile \(X_a\) yazmak, \(X\)’in bir kovektörün bileşeni olduğu anlamına gelmiyor. Bu şekilde yazdığımızda \(X\)’in ne olduğunu ayrıca aklımızda tutmamız gerekiyor. Aşağıda bir indis, bir vektörün momentum bileşenleri de olabilir; bir kovektörün konum bileşenleri de. Doğal olarak bu notasyon pek kullanılmıyor. Şunun da altını çizmek istiyorum ki \(X^i\) şeklinde faz uzayı indisleriyle yazdığımızda böyle bir sorun yaşamıyoruz. Burada yukarı indis her zaman vektör, aşağı indis de kovektör demektir.

Özetle konfigürasyon uzayı koordinatları \(a\in\{1,2,…n\}\) yazdığımız bileşenin konum koordinatlarının dönüşümü altında nasıl dönüştüğünü tarif ederken faz uzayı koordinatları \(i\in\{1,2,…2n\}\) objenin faz uzayında nasıl bir obje olduğunu (vektör, kovektör, (p,q)-tensör vb.) bize söylüyor.

Yeni Notasyon

Benim etrafından dönmeye çalıştığım sorun buydu işte. Bu indisleri nasıl notasyonun kolaylığından bir şey kaybetmeden yazabiliriz?

Momentum koordinatları, konum koordinatlarına eşlenikler. Konum ve momentum çiftler hâlinde geliyor. Bu çiftlerin indislerinin ismini değiştirelim:

\[(q^a,p_a)\leftrightarrow (x^a,x^{\bar a})\]

Burada \(\bar a:=n+a\) demektir. Üzerinde çizgi olan koordinatlar konum değişimleri altında her zaman çizgi olmayanlara göre ters bir şekilde dönüşürler. Bu sayede bir vektör her zaman yukarı indislerle, bir kovektör de her zaman aşağı indislerle yazılabilir. \(X\in T\Gamma\) bir vektör ve \(\eta\in T^*\Gamma\) bir kovektör olsun,

\[X=X^i\partial_i = X^a\partial_a + X^{\bar a}\partial_{\bar a}\qquad \eta=\eta_i\ted x^i=\eta_a\ted x^a + \eta_{\bar a}\ted x^{\bar a}\]

Bu noktada bile ilk kısımda verdiğim karışık ifadelerin bir kısmı daha doğal bir hâl alıyor. Şimdi bu notasyonu bir adım ileri taşıyalım. Faz uzayı koordinatlarının da çizgili hâlini tanımlayalım.

\[x^\bar \imath = (x^\bar a, x^{\bar{\bar a}}):=(x^\bar a, -x^a)\]

\[\boxed{x^\bar{\bar \imath}=-x^i}\]

Koordinatların bu şekilde yazılması vektör bileşenlerini de aynı şekilde değiştirecek,

\[X^{\bar{\bar \imath}}=-X^i\qquad \eta_{\bar{\bar\imath}}=-\eta_i\]

Bu notasyonu kullanarak simplektik formu ve yukarıda tanımladığım \(\mathcal J\) ve \(\mathcal I\) fonksiyonlarını yazalım. Herhangi bir tamamen antisimetrik form şu şekilde yazılabilir,

\[\omega=\omega_{ij}\,\ted x^i\otimes \ted x^j = \dfrac{1}{2}\omega_{ij}\,\ted x^i\wedge \ted x^j\]

Simplektik formun tam nasıl bileşenlerini de biliyoruz,

\[\omega=\sum_{a=1}^n\ted q^a\wedge \ted p_a=\sum_{k=1}^{2n}\dfrac{1}{2}\ted x^k\wedge\ted x^\bar k \]

Bunun doğru olduğunu toplamdaki terimleri \(\bar k=k+n\) olduğunu kullanarak açıp görelim:

\[\omega \stackrel{?}{=}\dfrac{1}{2}\sum_{k=1}^{2n}\ted x^k\wedge\ted x^\bar k\]

\[=\dfrac{1}{2}(x^1\wedge x^{1+n} + … \ted x^n\wedge \ted x^{n+n} + \ted x^{n+1} \wedge \ted x^{n+1+n}+… ) \]

\[=\dfrac{1}{2}(\ted x^{1}\wedge \ted x^{\bar 1} + … \ted x^{n}\wedge \ted x^{\bar n} + \ted x^{\bar 1} \wedge \ted x^{\bar{\bar 1}} + … \ted x^{\bar n} \wedge \ted x^{\bar{\bar n}})\]

\[=\dfrac{1}{2}(\ted x^{1}\wedge\ted x^{\bar 1} + … \ted x^{n}\wedge \ted x^{\bar n} -\, \ted x^{\bar 1}\wedge \ted x^{1} -\, … \ted x^{\bar n}\wedge \ted x^{n})\]

\[=\ted x^1\wedge \ted x^\bar 1 + … \ted x^n \wedge \ted x^\bar n = \omega\]

İkinci satırda \(x^{n+1+n}\) diye bir koordinat bulunmamasına rağmen bunun \(x^{\bar{\bar 1}}\) olmasını kullanıp \(-x^1\) olarak yazdım. Şimdi \(\omega\)’nın bileşenlerini yazmak için şunu kullanalım, \(\ted x^k = \sum_i \delta^k_i\ted x^i \).

\[\omega=\dfrac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{2n}\left(\sum_{k=1}^{2n}\delta^k_i\delta^{\bar k}_j\right) \ted x^i\wedge \ted x^j= \sum_{i,j=1}^{2n}\left(\sum_{k=1}^{2n}\delta^k_{[i}\delta^{\bar k}_{j]}\right)\ted x^i\otimes \ted x^j\]

Burada net olması için tüm toplamları açıkça yazdım. Ayrıca indisleri antisimetrize etmek için kullandığım notasyon \(a_{[i}b_{j]}:=(a_ib_j-a_jb_i)/2\) şeklinde. Yani özetle:

\[\omega_{ij} = \sum_{k=1}^{2n}\delta^k_{[i}\delta^{\bar k}_{j]}\]

Bu, yukarıda \(\mathcal J\) için verdiğimiz tanımdan ötürü \(\mathcal J\)’nin matris gösterimi olan \(J_{ij}\) için de aynıdır, \(\omega_{ij}=J_{ij}\). Simplektik form iki vektöre nasıl çarpılır onu görelim,

\[\omega(X,Y)=\omega_{ij}X^i Y^j = \sum_{k=1}^{2n}\delta^k_{[i}\delta^{\bar k}_{j]} X^i Y^j \]

\[=\sum_k\dfrac{1}{2}(X^kY^{\bar k} – X^{\bar k}Y^k)=X^k Y^{\bar k} \]

\(J\)’nin tanımı olarak da şunu diyebiliriz, \(\omega(X,Y)=\iota_X\omega(Y)=\mathcal{J}_X(Y)=J_{ij}X^i Y^j\).

Burada şuna dikkat çekmek istiyorum: Nasıl ki bir Riemann uzayında metrik iki vektör ile çarpıldığında indislerin eşlenmesini (contraction) sağlıyorsa bu notasyonda da simplektik form aynı şeyi yapmış oldu. Sadece bu eşleme bir yukarı bir aşağı indis arasında değil de bir çizgili bir çizgisiz indis arasında oldu.

Burada dikkat etmek gereken çok önemli bir şey var o da bu vektörlerin sırası. Bu notasyonda iki vektörün yerlerini değiştirdiğimizde bir eksi işareti koymamız gerekiyor. Simplektik formun antisimetrik olmasından kaynaklı bu.

\[X^kY^{\bar k}=-X^{\bar k}Y^{k}\]

Son olarak \(\mathcal I\)’yi temsil eden matris olan \(I^{ij}\) için \(I^{ij}=-J_{ij}\) olduğunu biliyoruz. Yukarıda gösterilen her şeyi kullanarak \(\mathcal I\) ve \(\mathcal J\) fonksiyonlarını yine yukarıda verdiğimiz tabanlarda yazabiliriz.

\[\mathcal{J}_X=\omega(X,\cdot)=-X^{\bar k}\ted x^k\qquad \mathcal I\eta = \eta_{\bar k}\partial_k\]

Poisson Parantezi ve Bir Örnek

Bu notasyonda Poisson parantezleri neye denk geliyor onu yazalım. Poisson parantezleri faz uzayı üzerinde tanımlanan fonksiyonlar için tanımların. \(f,g:\Gamma\to\mathbb{R}\) iki adet fonksiyon olsun. Bu fonksiyonları kullanarak doğal bir şekilde bir kovektör üretebiliriz. Bu fonksiyonlar bir 0-form yani skalerdirler (\(\Gamma\) üzerinde tanımlı 0-formların uzayını \(\Omega^0(\Gamma)\) ile gösterelim) ve 0-formun dış türevi bize bir 1-form yani kovektör verecektir. Bunun üzerine simplektik yapıdan gelen \(\mathcal I\) fonksiyonu ile bu kovektörleri vektöre dönüştürürüz. Bu vektörleri simplektik form kullanarak çarparsak da Poisson parantezlerini elde etmiş oluruz. Bu reçeteyi denklemle ifade edeyim:

\[f:\Gamma \to \mathbb{R}\rightsquigarrow \ted f\in T^*\Gamma \rightsquigarrow \mathcal I \ted f \in T\Gamma\]

Genelde \(\mathcal I \ted f=X_f\) notasyonu kullanılır. İki adet \(f,g\) fonksiyonunun Poisson parantezi \(\{\cdot,\cdot\}:\Omega^0(\Gamma)\times\Omega^0(\Gamma)\to\mathbb{R}\) şöyle tanımlanır:

\[\omega(X_f,X_g):=\{f,g\}\]

Bileşenlerini yazarsak, \((\ted f)_i = \partial_i f\) ve buradan, \(X_f^i=(\mathcal I \ted f)^i=(\ted f)_{\bar \imath} = \partial_\bar \imath f\). O hâlde,

\[\{f,g\}=X_f^{k}X_g^{\bar k} = \partial_{\bar k}f\partial_{\bar {\bar k}}g=-\partial_\bar k f\partial_k g\]

Bu da alışık olduğumuz Poisson parantezlerinin tanımı ile aynıdır, (\(-\partial_\bar k f\partial_k g= \partial_ k f\partial_\bar k\))

\[\partial_ k f\partial_\bar k g=\partial_1 f \partial_{\bar 1}g + \dots\partial _{n}f\partial_{\bar n}g \,-\, \partial_\bar 1 f\partial_1 g\,-\, \dots\partial_{\bar n} f\partial_{n}g\]

\[= \sum_{a=1}^{n}\dfrac{\partial f}{\partial q^a}\dfrac{\partial g}{\partial p_a} \,-\, \dfrac{\partial f}{\partial p_a}\dfrac{\partial g}{\partial q^a} \]

Yine görüyoruz ki her şeyi indisleri eşleyerek kolay bir şekilde yazabiliyoruz. Poisson parantezleri de indis eşleyerek ifade edilebiliyor.

Şimdi son olarak bilinen bir özdeşliği bu indis notasyonu ile göstermek istiyorum. Faz uzayı üzerinde tanımlı iki adet vektör alalım \(X,Y\in T\Gamma\). Bu vektörleri aynı zamanda faz uzayı üzerinde tanımlı fonksiyonlara etki eden türev operatörleri olarak da düşünebiliriz \(h:\Gamma\to \mathbb{R}\) ise \(Xh=X^i\partial_i h\) şeklinde. Bu türev operatörleri için de bir komütatör tanımlayabiliriz,

\[[X,Y]h:=X(Yh)-Y(Xh)\]

Bu komütatör işlemi aşağıdaki özdeşliği sağlar:

\[[X_f,X_g]=-X_{\{f,g\}}\]

Hadi bunu ispatlayalım. Bir test fonksiyonu olarak \(h\) fonksiyonu alalım. Komütatör işleminin sonucu şöyle olacak:

\[[X_f,X_g]h = X_f^k\partial_k(X_g^l\partial_l h)\,-\,X_g^k\partial_k( X_f^l\partial_l h)\]

\[=\partial_\bar k f\partial_k(\partial_\bar l g\partial_l h)-\partial_\bar k g\partial_k(\partial_\bar l f\partial _l h)\]

\[=(\partial_\bar k f \partial_k \partial_\bar l g \,-\, \underbrace{\partial _ \bar k g\partial_k \partial_\bar l f}_{-\partial_k g\partial_\bar k \partial_\bar l f})\partial_l h\]

\[=\partial_\bar l(\underbrace{\partial_\bar k f\partial_k g}_{-\{f,g\}})\partial_l h=-X_{\{f,g\}}h\]

Bu şekilde göstermiş olduk. Burada ikinci satırdan üçüncüye geçerken türevi dağıtıp birbirini götüren terimleri attım.

Tüm bu yazı boyunca şunu göstermeye çalıştım: Riemannyen manifoldlarda kullandığımız ve çoğu hesabı kolaylaştıran indis notasyonunun analoğu simplektik manifoldlarda da bu yazdığım indis notasyonu ile kullanılabiliyor.

Büyük Resim: Neredeyse Karmaşık Uzaylar

Peki bu notasyon neden bu kadar güzel çalışıyor? Bunun altında yatan daha derin bir sebep var. Bunu açıklamaya şu özelliği biraz daha inceleyerek başlamak istiyorum, indislere çizgi ekleme işlemini iki kere yaptığımızda bir vektörün bileşeninin aynısını eksi ile elde ediyoruz.

\[X^{\bar{\bar \imath}}=-X^i\]

Bu işlem neye benziyor? Tabii ki sanal birim olan \(\text i\) sayısı ile çarpmaya benziyor! Yani sanki konfigürasyon uzayını karmaşık bir manifolda dönüştürürsek şuna benzer bir eşleşme yapabiliriz,

\[(x^a,x^{\bar a})\leftrightarrow (x^a,\tei x^{a})\]

Bu yapı simplektik formdan otomatik olarak çıkıyor zaten. Bu tür bir yapıya neredeyse karmaşık manifold deniyor. Bir teorem olarak ispatlanmış ki simplektik manifoldlarda her zaman neredeyse karmaşık bir yapı oluşturulabiliyor. Yani simplektik formu kullanarak yerel olarak her zaman şöyle bir fonksiyon oluşturabiliyoruz,

\[J:T\Gamma \to T\Gamma\]

\[J\dfrac{\partial}{\partial q^a}=\dfrac{\partial }{\partial p_a}\qquad J\dfrac{\partial}{\partial p_a}=-\dfrac{\partial }{\partial q^a}\]

Bu koşul her zaman \(J^2=-1\) koşulunu otomatik olarak oluşturuyor. Evet ne yazık ki bu karmaşık yapı için kullanılan sembol de \(J\) harfi. Bu yukarıda tanımladığımız \(J\) matrisi değil. Bu koşul tam olarak benim indisin üzerine koyduğum çizgi ile aynı şeyi yapıyor! Ben bunu bilmeden yazmıştım ama aslında altında böyle bir yapı yatıyormuş. Neredeyse karmaşık denmesinin sebebi bu yapının manifoldumuz üzerinde her yerde aynı şekilde global olarak her zaman tanımlanamaması. Fakat bizim yukarıda yaptığımız gibi konfigürasyon uzayını \(Q=\mathbb{R}^n\) olarak alırsak global olarak da karmaşık bir yapı oluşturabiliyoruz ve faz uzayında bir karmaşık uzay yapısını doğal olarak kurabiliyoruz.

Bu yapının henüz tamamen anlamamış olsam da André Heslot’nun[1] “Klasik bir teori olarak kuantum mekaniği” isimli makalesinde gösterdiği faz uzayı ile Hilbert uzayı arasındaki bağlantı ile de bir ilişkisi var bence. Bu makaleyi Boğaziçi’nde düzenlediğimiz öğrenci seminerlerinden birinde sunmuştum. Orada şöyle bir tanım yapıyor, kuantum mekaniksel bir sistemde Hilbert uzayının elemanı bir dalga fonksiyonumuz \(|\psi\rangle\) olsun. Dalga fonksiyonunu herhangi bir tabanda yazalım be bu tabandaki bileşenlerinin gerçel kısmına \(q\) ve sanal kısmına \(p\) diyelim. Yani

\[|\psi\rangle = \sum_{a}(q^a + \tei p_a)|a\rangle\]

Şimdi bu dalga fonksiyonu için Schrödinger denklemini yazarsak (\(\hbar=1\) alarak),

\[\langle\psi|\dfrac{\ted }{\ted t}| \psi\rangle = -\tei \langle\psi|\hat H |\psi\rangle\]

Şimdi burada Hamiltonyen operatörünün beklenen değerine \(\langle \psi | \hat H |\psi\rangle := H\) dersek, bu denklemi tekrar \(q^a\) ve \(p_a\)’ya göre türevlediğimiz zaman gerçel ve sanal bileşenleri bize ayrı ayrı Hamilton denklemlerini veriyor!

\[\dot q^a=\dfrac{\partial H}{\partial p_a}\qquad \dot p_a = -\dfrac{\partial H}{\partial q^a}\]

Schrödinger denklemi de aynı klasik mekanikte olduğu gibi Hamiltonyen akış denklemleri üretiyor. Benim düşüncem şu ki bunun faz uzayında kendiliğinden olan karmaşık yapıyla bir alakası olmalı. Belki de kuantum mekaniği için gereken karmaşık sayılar da bir şekilde faz uzayının içinde kendiliğinden tanımlanabiliyordur. Burada da sanki şöyle bir tanım var gibi,

\[(q^a,p_a)\to(z_a,\bar z_a)=(q^a+\tei p_a,q^a\,-\,\tei p_a)\]

\[\langle\psi|=\sum_a \bar z_a\langle a|, \qquad |\psi\rangle = \sum_a z_a |a\rangle\]

Ama bu kuantum mekaniğiyle olan bağlantıdan tam olarak emin değilim. Sanki şöyle bir fark var arada, klasik mekanikte oluşan karmaşık yapı konfigürasyon uzayındayken burada faz uzayında yeni bir karmaşık yapı var gibi. Nasıl daha net bir şekilde ifade edeceğimi biraz düşünmem gerekiyor.

Referanslar

[1] André Heslot, Quantum mechanics as a classical theory, Phys. Rev. D 31, 1341 (1985).