2020 yılında Bilkent’e ilk girdiğim zamanlar online olarak Prof. Nihat Berker’den “faz geçişleri ve renormalizasyon grubu” dersini alıyordum. Üniversite’ye yeni geçmiş birisi olarak bana çok zor gelmişti bu ders. Denklemleri türetmeye çalışırken hiçbir anlam veremediğimi hatırlıyorum. Altı yıl sonra şu anda aldığım ileri istatistiksel fizik dersinin birinci yarısının konuları Nihat Berker’in dersiyle neredeyse aynı. Ne düşünerek aldım o dersi bilemiyorum ama tamamen faydasız da değildi benim için. Bir sürü yeni kavramı anlamasam da duymuş oldum ve soruları çözmeye çalışırken onları nasıl kullanacağımı az çok öğrenmiş oldum.

O zamanlar çalışırken Ising modeli için spin başına düşen serbest enerjinin içbükey bir fonksiyon olması gerektiğini göstermiştim. Bu da serbest enerjinin termodinamik limitte sürekli bir fonksiyon olduğunu göstermiş oluyor. Faz geçişleri de serbest enerjinin türevlerinde süreksizlik veya ıraksamaların olduğu noktada gerçekleşir.

Bunlara çalışmak için Bilkent kütüphanesinde faz geçişleriyle ilgili bir kitap bulmuştum ve o kitapta serbest enerjiyle ilgili verilen bu özelliğin ara işlemlerini ve ispatını kendim tamamlamıştım. Ne yazık ki kitabın adını hatırlamıyorum. Eski defterimi karıştırırken bu ispatın notlarını buldum.

Boğaziçi’ne ilk geldiğimde yaptığım stajın konusu da Ising modeliydi, sonrasında da arXiv’e çıkarttığımız ilk review makalesi de Ising modeli hakkındaydı. Yani bu bloğu da Ising modeli hakkında bir yazı ile başlatmak da artık gelenektendir.

Ising Modeli

En genel hâliyle Ising modelini şöyle tarif edebiliriz: \( d \)-boyutlu bir lattice(kafes) üzerinde, \(s_i\in\{-1,1\}\) değerlerini alan \(i=1,2,…N\) adet birbiriyle etkileşim hâlinde spin’lerden oluşan bir sistemdir. Sistemin alabileceği olası tüm durumların sayısı toplamda \(2^N\)’dir. Böyle bir sistem için genel bir Hamiltonyen şöyle verilir:

\[\begin{align}-\mathcal{H} = \sum_{i=1}^N H_i s_i + \sum_{i,j}J_{ij}s_is_j + \sum_{i,j,k}K_{ijk}s_is_js_k + \dots\end{align} \]

Bu sistemin olası tüm durumları üzerinden toplamı ifade etmek için şu notasyonu kullanalım,

\[ \text{tr} \leftrightarrow \sum_{s_1=\pm1}\sum_{s_2=\pm1}\dots\sum_{s_N=\pm1} \]

Bu durumda bölüşüm fonksiyonu ve serbest enerji aşağıdaki gibi verilir,

\[\begin{equation}\label{part}Z:=\text{tr }\text{e}^{-\beta\mathcal{H}},\end{equation}\]

\[\begin{equation}\label{SE} F(T,H_i,J_{ij},…):=-k_BT\ln Z=-k_BT\ln\text{tr }\text{e}^{-\beta \mathcal{H}}\end{equation}\]

Burada \(\beta:=1/k_BT\) ve \(T\)’de sistemin sıcaklığı. Şimdi spin başına düşen serbest enerjiyi tanımlayalım,

\[f(T,H,J,…):=\dfrac{F}{N}\]

Bu serbest enerjinin analitik özellikleri şu şekilde olacaktır:

• \(f<0\)
• \(f(T,H,J,…)\) sürekli bir fonksiyondur
• Türevleri, \(\partial f/\partial T, \partial f/\partial H_i, …\) neredeyse her yerde tanımlıdır
• \(s:=-\partial f/\partial T\) spin başına düşen entropi neredeyse her yerde sıfırdan büyüktür

Şimdi bu özelliklerden bazılarını inceleyeceğiz. Bu yazıda bu fonksiyonun sürekli olduğunu, spin başına düşen serbest enerjinin içbükey (convex up) bir fonksiyon olduğunu göstereceğiz. İçbükey fonksiyonlar sürekli olmak zorundadırlar ve türevleri neredeyse her noktada tanımlıdır. Bunlar da yukarıdaki ilk iki koşulun sağlandığı anlamına geliyor.

İçbükey Fonksiyonlar

İçbükey fonksiyonun tanımı çokgenlerdeki tanımına benziyor. Bir \(f(\xi)\) fonksiyonu düşünelim. Bu fonksiyonun grafiğinde, \((x,f(x))\) ve \((y,f(y))\) noktalarını birbirine bağlayan doğru parçası üzerindeki her noktanın fonksiyonun kendi değerinden küçük olması gerek.

Bu doğru parçasını parametrize etmek için \( z\in[x,y]\) parametresini tanımlayalım. Onu da sıfır ile bir arasında \(\alpha\) parametresiyle ifade edebiliriz,

\[\begin{equation}\label{parz}z=\alpha x +(1-\alpha)y,\quad \alpha\in[0,1]\end{equation}\]

Bu tanımlarla birlikte içbükeylik koşulu şu şekilde yazılabilir,

\[\begin{equation}\label{concav} f(z)\ge f(x) + m(z-x) \end{equation}\]

Burada \(m\), grafikte çizdiğimiz doğru parçasının eğimi.

\[\begin{equation}\label{slo}m=\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}\end{equation}\]

Şimdi \(m\) ve \(z\)’nin tanımını yani denk.\(\ref{parz}\) ve denk.\(\ref{slo}\)’yı denk.\(\ref{concav}\)’te yerine koyarsak şu şartı elde ederiz: Bir \(f(\xi)\) fonksiyonunun \(x\) ile \(y\) noktaları arasında içbükey olmasının şartı, tüm \(\alpha\in[0,1]\) gerçel sayıları için aşağıdaki koşulu sağlamasıdır:

\[\begin{equation}\label{asilconcav}\boxed{f(\alpha x + (1-\alpha)y)\ge \alpha f(x) + (1-\alpha)f(y)}\end{equation}\]

İç(dış)bükeylik özelliği beraberinde fonksiyonların başka güzel özellikleri olmasını da sağlıyor. Bunlardan en önemlileri,

• \(f(x)\) sürekli bir fonksiyondur
• \(f(x)\) neredeyse her noktada türevlenebilir.
• \(f'(x)\) düzgün azalan(artan) fonksiyondur.

İkinci koşulda özellikle neredeyse her noktada diye belirtmek gerekiyor çünkü fonksiyon tek tek bazı noktalarda türevlenebilir olma özelliğini kaybedebilir. Aşağıda bir örnek:

Şimdi Ising modeli için parçacık başına düşen serbest enerjinin \(H\) değişkeninde içbükey bir fonksiyon olduğunu göstereceğim. \(T,J\) ve diğer parametreler için de aynısı gösterilebilir ama sadece dış manyetik alan \(H\) için yapacağız şimdilik. Bunun için bazı eşitsizlikler kullanmamız gerek:

Hölder Eşitsizliği

Hölder eşitsizliği şu şekilde verilir: İki tane pozitif dizi alalım. \((x_n)_{n\in\mathbb{N}},(y_n)_{n\in\mathbb{N}}\) ve \(x_n,y_n\in\mathbb{R}^{\ge0}\). Aynı zamanda iki tane \(q,p\) gerçel sayılarını alalım ve şu koşulu sağlasınlar,

\[\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1,\qquad p,q>1\]

Bu tanımlardan sonra Hölder eşitsizliğini yazabiliriz:

\[\begin{equation}\label{easyholder}\sum_{n\in\mathbb{N}} x_n y_n \le \left(\sum_n x_n^p \right)^{1/p}\left(\sum_n y_n^{q}\right)^{1/q}\end{equation}\]

Bu eşitsizliği biraz daha formal bir şekilde ifade edebiliriz. Bunun için bir dizi uzayı tanımlayalım,

\[\ell^p(\mathbb{N}):=\left\{(z_n)_{n\in\mathbb{N}}\in\mathbb{C}^{\mathbb{N}}\bigg|\sum_n|z_n|^p<\infty\right\},\quad p\in\mathbb{R}, p\ge 1\]

Bu uzaya \(p\)-dizi uzayı denir. Bu uzayın elemanları için bir \(p\)-norm tanımlanabilir,

\[x=(x_n)_n\in\ell^p\Rightarrow \|x\|_p:=\left(\sum_n |x_n|^p\right)^{1/p}\]

Bu normu kullanırsak Hölder eşitsizliğini (denk.\(\ref{easyholder}\)) şu şekilde de yazabiliriz:

\[\begin{equation}\label{hardholder}\|xy\|_1\le \|x\|_p\|y\|_q\end{equation}\]

Bunu ispatlamak için bir başka eşitsizliği kullanacağız. Yine aynı koşulları sağlayan \(p,q\) gerçel sayıları alalım. İki pozitif \(a\) ve \(b\) sayısı için,

\[\begin{equation}\label{young} ab\le \dfrac{a^p}{p}+\dfrac{b^q}{q}\end{equation}\]

Eşitsizliği geçerlidir. Bu eşitsizliğe Young eşitsizliği denir. İspatımıza bunu göstererek başlayalım. \(p\) ve \(q\)’nun sağladığı koşuldan şunu yazabiliriz,

\[\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1\Rightarrow p+q=pq\Rightarrow p+q-p-q+1=1=pq-p-q+1\]

\[\Rightarrow 1=(p-1)(q-1)\]

Şimdi bu bilgiyi kullanarak yeni bir fonksiyon yazalım. \(u(t):=t^{p-1}\) ve ters fonksiyonu \(t=u^{1/(p-1)}=u^{q-1}\). Bu fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibi olacaktır.

Bu grafikte kenar uzunlukları \(a\) ve \(b\) olan bir dikdörtgenin alanına bakalım. Bu alan her zaman fonksiyonun altında kalan alanların toplamı olan \(\text{I}+\text{II}\) bölgelerinin toplam alanından daha küçük olacaktır. Bunu denkleme dökersek,

\[ab\le S_{\text{I}}+S_{\text{II}}=\int_0^a u\text{d}t + \int_0^b t\text{d}u\]

\[=\int_0^at^{p-1}\text{d}t + \int_0^b u^{q-1}\text{d}u=\dfrac{a^p}{p} + \dfrac{b^q}{q}\]

Bu da denk.\(\ref{young}\)’un aynısı. Böylece Young eşitsizliğini ispatlamış olduk. Şimdi onu kullanıp Hölder eşitsizliğini ispatlayalım. Bunun için Hölder eşitsizliğinde kullandığımız \(x_n,y_n\) dizilerini kullanarak iki yeni dizi tanımlayalım.

\[\begin{cases}u_n:=\dfrac{x_n}{\| x\|_p}\\ v_n := \dfrac{y_n}{\| y\|_q}\end{cases}\]

Bu tanımlardan hemen şunları çıkarabiliriz, \(\|u\|_p=\|v\|_q=1\). Ayrıca \(x_n\) ve \(y_n\) dizileri pozitif oldukları için \(u_n\) ve \(v_n\) dizileri de pozitif olmak zorundalar. O hâlde \(a=u_n, b=v_n\) çifti için Young eşitsizliğini yazabiliriz.

\[u_nv_n\le \dfrac{u_n^p}{p}+\dfrac{v_n^q}{q}\Rightarrow \sum_n u_n v_n \le \sum _n \dfrac{u_n^p}{p}+\sum_n \dfrac{v_n^q}{q}\]

Buradaki toplamı alabiliyoruz ve eşitsizlik değişmiyor çünkü bu eşitsizlik toplamdaki her terim için ayrı ayrı geçerli. Şimdi tanımları kullanarak denklemin sağ ve sol tarafını düzenleyelim.

\[\sum_n u_n v_n = \|uv\|_1\]

\[\dfrac{1}{p}\sum_n u_n^p=\dfrac{1}{p(\|x\|_p)^p}\sum_n x_n^p=\dfrac{(\| x\|_p)^p}{p(\| x\|_p)^p}=\dfrac{1}{p}\]

Ve benzer şekilde \(\sum_n v_n^q/q=1/q\). Yani yukarıdaki eşitsizlik şu hâle gelir,

\[\|uv\|_1\le 1\]

Şimdi \(u_n\) ve \(v_n\)’in tanımını yerleştirelim:

\[\|uv\|_1=\sum_n\dfrac{x_n}{\|x\|_p}\dfrac{y_n}{\| y\|_q}=\dfrac{\|xy\|_1}{\|x\|_p\|y\|_q}\le 1\]

Buradan da denk.\(\ref{hardholder}\)’u elde ediyoruz.

Serbest Enerji

Hölder eşitsizliğini de kanıtladığımıza göre artık geri dönüp bunu serbest enerjiye uygulamaya hazırız. Denk.\(\ref{part}\)’de verilen bölüşüm fonksiyonu tanımını kullanalım. Orada çok genel bir Hamiltonyen üzerinden yazmıştık ama şimdi her spin’in enerjisine aynı katkıyı yapan bir lineer terim alalım. Yani dış manyetik alan tüm spinlere aynı şekilde etki etsin, her bir \(i\) için \(H_i =H\).

\[Z(H)=\text{tr }\text{e}^{\beta H\sum_i s_i}\underbrace{\text{e}^{\beta J\sum_{i,j}s_is_j}+…}_{\mathcal{G}[s]}\]

Termodinamik limitte \(N\to\infty\) alıyoruz yani bu kafesteki spin sayısını çok büyük alıyoruz. O zaman tüm durumlar üzerinden aldığımız \(\text{tr}\) toplamı da sonsuz durum üzerinden bir toplama dönüşüyor. Şimdi iki tane dış alan değeri alalım, \(H_1\) ve \(H_2\). Denk.\(\ref{asilconcav}\)’ye benzetmek için iki tane gerçel sayı alalım: \(\alpha_1,\alpha_2\in[0,1]\) ve toplamları bir olsun, \(\alpha_1+\alpha_2=1\). O hâlde,

\[Z(\alpha_1 H_1+\alpha_2 H_2)=\text{tr }\text{e}^{\left(\alpha_1\beta H_1\sum_i s_i + \alpha_2\beta H_2\sum_i s_i\right)}\mathcal{G}[s]\]

\[=\text{tr }\left(\text{e}^{\beta H_1\sum_i s_i}\mathcal{G}[s]\right)^{\alpha_1}\left(\text{e}^{\beta H_2\sum_i s_i}\mathcal{G}[s]\right)^{\alpha_2}\]

Şimdi bu noktada Hölder eşitsizliğini kullanalım. Burada \(\text{tr}\)’in spinlerin alabileceği sonsuz durum üzerinden bir toplam olduğunu hatırlayalım.

\[\text{tr }\left(\text{e}^{\beta H_1\sum_i s_i}\mathcal{G}[s]\right)^{\alpha_1}\left(\text{e}^{\beta H_2\sum_i s_i}\mathcal{G}[s]\right)^{\alpha_2}\le \left(\text{tr }\text{e}^{\beta H_1\sum_i s_i}\mathcal{G}[s]\right)^{\alpha_1}\left(\text{tr }\text{e}^{\beta H_2\sum_i s_i}\mathcal{G}[s]\right)^{\alpha_2}\]

Bu denklemi şöyle toplayabiliriz,

\[Z(\alpha_1H_1+\alpha_2H_2)\le Z^{\alpha_1}(H_1)Z^{\alpha_2}(H_2)\]

Son olarak bu bölüşüm fonksiyonunu parçacık başına düşen serbest enerjiye bağlamak kaldı. Denk.\(\ref{SE}\)’ü kullanırsak,

\[f=\lim_{N\to\infty}\dfrac{-k_BT\ln Z}{N}\Rightarrow\]

\[\begin{equation}\boxed{f(\alpha_1 H_1 + \alpha_2 H_2)\ge \alpha_1 f(H_1)+\alpha_2 f(H_2)}\end{equation}\]

Bu da denk.\(\ref{asilconcav}\) ile tam olarak aynı formdadır. Yani sonuç olarak termodinamik limitte \(f\) içbükey bir fonksiyondur, ve bundan dolayı da sürekli bir fonksiyondur.